Eksponen dan Logaritma

Eksponen dan Logaritma

Tugas kali ini adalah membuat penjelasan tentang eksponen dan logaritma. Saya akan mencoba menjelaskan melalui tulisan. Semoga bermanfaat dan dapat dimengerti. :D


Eksponen
Eksponen adalah bilangan berpangkat.
Bentuk umum
fungsi eksponen adalah dengan a ≥ 0 dan a≠1



Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya memuat variabel. Atau persamaan dimana bilangan pokok atau eksponennya memuat variabel x. Untuk menyelesaikan persamaan eksponen, harus menggunakan sifat-sifat eksponen. Intinya, soal persamaan eksponen bisa kita kerjakan apabila kita mengetahui sifat-sifat eksponen. J



Eksponen itu punya banyak sifat.
Sifat-sifat eksponen:
Jika a dan b adalah bilangan real (a≠0 dan b≠0) serta m dan n adalah bilangan rasional, maka:

1. a^m . aⁿ = a^m+n
   
   Contoh: 2³.2⁴ = 2³⁺⁴
   
    
2. a^m/aⁿ = a^m-n
   
   Contoh: 3⁶/ 3² = 3^6-2
   
    
3. (a^m)ⁿ = a^mn
   
   Contoh: (2²)² = 2^{2 x 2} = 2⁴ = 16
   
    
4. (ab)ⁿ =aⁿbⁿ
   
   Contoh: (2.3)²= 2².3² = 4.9 =36
   
    
5. (a/b)ⁿ = (aⁿ/bⁿ)
   
   Contoh: (6/2)² = 6²/2² = 36/4 = 9
   
    
6. a¹ = a
   Contoh: 3¹ = 3
   
    
7. a⁰ = 1
   Contoh: 5⁰ = 1
   
   
   
    
8. 
   
9. a^-n =
   Contoh: 4^-2 =

9. ^m/n


Contoh: ^4/2 = 3² = 9



Bentuk-bentuk persamaan eksponen

1. Jika a^f(x) = 1 (a>0 dan a≠1), maka f(x) = 0
   
    
2. Jika a^f(x) = a^p (a>0 dan a≠1), maka f(x) = p
   
    
3. Jika a^f(x) = a^g(x) (a>0 dan a≠1), maka f(x) = g(x)
   
   
    
4. Jika a^f(x) = b^f(x) (a>0 dan a≠1, b>0 dan b≠1), maka f(x) = 0

Pertidaksamaan Eksponen

1. Untuk 0 < a < 1 atau a = pecahan
   a. a^f(x) ≥ a^g(x) => f(x) ≤ g(x)
   b. a^f(x) ≤ a^g(x) => f(x) ≥ g(x)

1. Untuk a > 1
   a. a^f(x) ≥ a^g(x) => f(x) ≥ g(x)
   b. a^f(x) ≤ a^g(x) => f(x) ≤ g(x)

Bagaimana dengan eksponen?
Sudah bisa dimengerti?
Kalau masih belum, sering-sering aja mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan eksponen. Yang paling penting harus hafal dengan sifat-sifat eksponen. :D






Sekarang kita belajar logaritma….
Logaritma
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari pangkat atau eksponen.
Rumus dasar logaritma:
a^b= c, ditulis sebagai ^alog c = b


penjabarannya:
a^b= c , 2³=8 (ini masih dalam bentuk pangkat).
Kita ubah menjadi logaritma: ^alog c = b, sehingga menjadi ²log 8 = 3.
Sampai disini apa sudah cukup mengerti??
Untuk lebih jelas, coba perhatikan contoh di bawah ini:
1. 2³ = 8, dan ²log 8 = 3.
2. 5⁵ = 625, dan ⁵log 625 = 5.
3. 10⁴ = 10000, dan ¹⁰log 10000 = 4.
4. 9² = 81, dan ⁹log 81 = 2.
Sekarang udah tambah ngerti kan? J



Selanjutnya, kita belajar tentang sifat-sifat logaritma.
Sifat-sifat Logaritma

1. ^alog a = 1
   
    
2. ^alog 1 = 0
   
    
3. ^alog (c x d) = ^alog c + ^alog d

contoh: ²log (8) = ²log (2 x 4) = ²log 2 + ²log 4 = 1 + 2 = 3

1. ^alog (c : d) = ^alog c - ^alog d

contoh: ³log (9) = ³log (27 : 3) = ³log 27 - ³log 3 = 3 - 1 = 2

1. ^alog c^d = d x (^alog c)

contoh: ²log 2⁸ = 8 x (²log 2) = 8 x 1 = 8

1. (^alog b)(^blog c) = ^alog c

contoh: (²log 65)(⁶⁵log 8 ) = ²log 8 = 3

1. (^alog b) : (^alog c) = ^clog b

contoh: (⁷log 64) : (⁷log 2) = ²log 64 = 6

1. a^{a log b} = b
   contoh: 2^{2 log 4} = 4
   
    
2. ^a log b = 1/^blog a
   contoh: ²log 8 = 1/ ⁸ log 2.

Selain itu, ada pula sifat logaritma yang seperti ini log x.
Artinya adalah, log x = ¹⁰log x.


Sifat-sifat logaritma sebaiknya dihafal, agar bisa mengerjakan soal di tingkat yang lebih rumit.


Persamaan Logaritma

1. ^a log f(x) = ^a log p => f(x) = p
   syarat: f(x) > 0
   
    
2. ^a log f(x) = ^a log g(x) => f(x) = g(x)
   syarat: f(x) > 0, g(x) > 0

Pertidaksamaan Logaritma

1. untuk 0 < a < 1
   1. ^a log f(x) ≤ ^a log g(x)
      => f(x) ≥ g(x)
   2. ^a log f(x) ≥ ^a log g(x) => f(x) ≤ g(x)
      syarat: f(x) > 0, g(x) > 0
      
       
2. untuk a > 1
   1. ^a log f(x) ≤ ^a log g(x) => f(x) ≤ g(x)
   2. ^a log f(x) ≥ ^a log g(x) => f(x) ≥ g(x)
      syarat: f(x) > 0, g(x) > 0

Intinya, mempelajari logaritma yang harus dilakukan pertama kali adalah mengerti akan apa itu logaritma, bagaimana logaritma, dan sifat apa saja yang ada di logaritma.


sejauh ini, apakah bisa dimengerti?
Saya harap tulisan ini bisa dipahami.
Terimakasih telah membaca rangkuman eksponen dan logaritma ini. :D
Salam Matematika. :')